domingo, 22 de noviembre de 2015

Matemáticas 2


1.2- Derivada parcial

 Derivada  parcial





La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables $x$ e $y$ podemos medir dos razones de cambio: una según cambia $y$, dejando a $x$fija y otra según cambia $x$, dejando a $y$ fija. 
Suponga que dejamos variar sólo a $x$, dejando a $y$ fija, digamos $y=b$, en donde $b$ es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable $x$, a saber $g(x)=f(x,b)$. Si $g$ tiene una derivada en $a$ entonces la llamamos la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ en $(a,b)$. De forma análoga podemos hacerlo para $y$ variable y $x$ fija.

 Definición  (derivada parcial)

Sea $f:D \subseteq \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ una función de dos variables y sea $(a,b)\in D$, entonces la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ en $(a,b)$ es 
\begin{displaymath}f_x(a, b) = g^\prime(a) = \lim_{h \rightarrow 0}\displaystyle{\frac{f(a + h, \, b) - f(a, b)}{h}}\end{displaymath}

siempre y cuando el límite exista.
De forma similar definimos la derivada parcial de $f$ con respecto a $y$ en $(a,b)$por 

\begin{displaymath}f_y(a, b) = g^\prime(b) = \lim_{h \rightarrow 0}\displaystyle{\frac{f(a, \, b+h) - f(a, b)}{h}}\end{displaymath}



Observación: los límites de la definición   son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla de Hôspital, etc. 
Ejemplo 1 
Usando la definición de derivada parcial calcule $f_y(1,2)$ para $f(x,y)=2xy^2+x$ 
Solución 
Usando la definición tenemos que: 

\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcl} f_y(1, 2) & = & g^\prime(2) & = & \li... ...ow}\displaystyle{\frac{4(2 + h)}{1}}=8\\ & & & & \end{array}\end{displaymath}

Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial:
\begin{displaymath}f_x (x,y)= D_x(x,y)= {\partial f(x,y)\over \partial{x}} \end{displaymath}


\begin{displaymath}f_y(x,y)= D_y(x,y)= {\partial f(x,y)\over \partial{y}}\end{displaymath}

Ejemplo 2 
Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada, se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto $(x,y)$ es $T(x,y)= 2xy^2 + x$. Además, suponga que $x$ e $y$ están medidas en metros y la temperatura $T$ en grados centígrados. ¿Cómo varía la temperatura $T$ en el punto $(1,2)$ cuando $x$ permanece fijo en $x=1$ ?, ¿Qué significa esto ? 
Solución 
Del ejemplo 1 tenemos que $f_(1, 2) = 8$ con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura $T$ en el punto $(1,2)$ es de 8 grados centígrados por metro, cuando $x$ esta fijo en $2$. El hecho de que sea positiva nos indica que la temperatura $T$ de la placa aumenta a medida que avanzamos sobre la recta $x=1$ hacia $y = 2$. 
Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de la función $g$ de una variable que obtenemos al fijar alguna de las variables $x$ o $y$, su cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable. 
Para calcular $f_x$, considere a $y$ como una constante y derive a $f(x,y)$ con respecto a $x$. 
Para calcular $f_y$, considere a $x$ como una constante y derive a $f(x,y)$ con respecto a $y$. 


Ejemplo 3 
Calcule la derivada parcial $f_y$ para $\,f(x, y) = \displaystyle{\frac{xy}{x^2 - y^2}}\,$ y también calcule $\,f_y(2, 1)\,$ 
Solución 
Usando la regla para la derivada del cociente 

\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} f_y(x, y) & = & \displaystyle{\frac{ y(x... ...tyle{\frac{x^2y - y^3 + 2x y^2}{(x^2 - y^2)^2}} \\ \end{array}\end{displaymath}

con lo cual $f_y(2, 1) = 7/9$. 



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