2.3.8 Integrales que incluyen funciones logarítmicas. 

Son las integrales de funciones del tipo 

k⋅x−1 y se resuelven:

∫k⋅1x dx=k∫x−1 dx=ln|x|+C

pues

ddx(kln|x|+C)=ddxkln|x|+0=k⋅ddxln|x|=k1x

Observemos que el resultado es el logaritmo del valor absoluto, pues no existe el logaritmo de un número negativo.

Por las propiedades vistas en los logaritmos, si a>0:

∫1x⋅lna dx=loga|x|+C

Ejemplo

∫1x dx=ln|x|+C

∫15⋅1x dx=15∫1x dx=15ln|x|+C

∫1xln5 dx=log5|x|+C

Integrales inmediatas exponenciales

Como sabemos del tema de derivación, la derivada de la función ex es ella misma, por lo tanto,

∫ex dx=ex+C

y por las propiedades de los logaritmos, si a>0 y a≠1:

∫ax dx=axlna+C

Ejemplo

∫3ex dx=3ex+C

∫3x dx=∫3x dx=3xln3+C

∫4x+4ex dx=∫4x dx+4∫ex dx=4xln4+4ex+C

Integrales trigonométricas

Podemos usar lo aprendido en las derivadas de funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, arcotangente, etc.) al integrar:

∫sinx dx=−cosx+C

∫cosx dx=sinx+C

∫1cos2x dx=tanx+C

∫11−x2−−−−−√ dx=arcsinx+C

∫−11−x2−−−−−√ dx=arccosx+C

∫1a+x2 dx=arctanx+C

Ejemplo

∫2sinx dx=−2cosx+C

∫5cosx+3sinx dx=5∫cosx dx+3∫sinx dx=5sinx−3cosx+C

∫31+x2 dx=3arctanx+C

MODELO APA:

San Joan Malta. (noviembre 2015). Integrales inmediatas logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. 26 de noviembre 2015, de sangakoo Sitio web: http://www.sangakoo.com/es/temas/integrales-inmediatas-logaritmicas-exponenciales-y-trigonometricas

2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones exponenciales.

 Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función exponencial cuando se encuentra multiplicada por la derivada del exponente

Dicha integral es igual a la función exponencial dividida por el logaritmo natural de la base de dicha función exponencial

En el video se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata)

A lo largo de nuestra serie de videos de cálculo integral hemos venido hablando de diversas técnicas para hallar la primitiva de una función. Básicamente se han explorado dos fórmulas potentes que nos servían para encontrar la integral de una función a la n por su derivada, y cuando queremos encontrar la integral de l derivada sobre la función. Estas tienen unos casos particulares, y vimos mediante cambio de variable cómo podemos simplificar algunas funciones para llevarlas a los casos anteriormente mencionados. De ahora en adelante vamos a llamar estos tipos de integrales como integrales de tipo potencial o integrales de tipo logarítmica, respectivamente. Este par de integrales se denominan comúnmente como integrales inmediatas, ya que nacen en realidad de las derivadas. 

En este video vamos a hablar de un nuevo tipo de integral conocido como exponencial, y se deduce entonces de la fórmula de la derivada de un “a” a la f(x), una fórmula nueva para encontrar primitivas. Podemos decir entonces que cuando tengamos que encontrar la integral de una función exponencial por la derivada de su exponente, vamos a decir que es igual a tener la exponencial dvidida por el logaritmo natural de la base de dicha función. El ejemplo más simple y útil de recordar, es la de la integral de e a la x, que es igual a tener e a la x más c. De allí podemos deducir entonces que cuando tengamos que hallar la integral de e a la f(x), es igual a tener e a la f(x)+C. En el video se desarrollan algunos ejemplos para mostrar cómo hallar entonces este tipo de integrales de manera rápida, identificando quien es f(x) y f’(x). No en todos los casos vamos a encontrarnos con la derivada tal cual, sino algo similar, y mediante una serie de “artilugios” podemos llegar a la integral, incluso utilizando la sustitución.

MODELO APA:

Carmen Pilar. (Octubre 21 del 2015). Integral de la función exponencial. 26 de noviembre 2015, de Tareas plus Sitio web: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Integral-de-la-funcion-exponencial

2.3.7.1 Integrales que incluyen un.

MODELO APA:

Mario . (1 de octubre 2013). Integrales de la forma du/u. 26 de noviembre, de lasmateyyo Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=9xS3kKGU2-A 

Regla de Potencias
La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.





Con base a la regla de potencias te presentamos un video explicativo sobre el tema y algunos ejemplos que te pueden ayudar para el desarrollo de tu aprendizaje:




Te presentamos 5 ejercicios para tu práctica:
f(x) = -2x³
f(x) = 12²
y = 3x³+2x²+x
y = 29x³+2x²-12x
y = 45x²



Estos ejercicios te ayudaran a comprender y representar de mejor manera la regla de potencias, efectúalos para encontrar el producto de la misma y asi lograr un buen programa de aprendizaje.



MODELO APA:

Stepha Torres. (julio de 2011). derivadas en calculo. 26 de novimbre 2015, de atom Sitio web: http://derivadasencalculo.blogspot.mx/

2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones. 

MODELO APA:

Jorge Martin . (8 Marzo 2015). Integral de la suma o diferencia de una función. 26 de noviembre, de calculo tv Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=1qbdxBLWCyI

 

2.3.5 Integral de una constante por una función de x.

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

MODELO APA:

Juan Marquez. (2014). Integral indefinida. 26 de novimbre, de vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html