Matemáticas 2

3.3 Propiedades de la integral definida.

Propiedades

La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

$\int_a^b \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \, \mathrm{g} \left( \, x \, \right) </pre> \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \, \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

La integral del producto de un número real      por una función es igual al producto de      por la integral de dicha función:

$\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, <pre>k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, <pre>- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

Si hacemos $a = b$ en la igualdad anterior se tiene que

$ <pre>\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, - \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que

$\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0$

para cualquier número real $a$ .

Dados tres números reales cualesquiera, $a, \, b, \, c$ se tiene que:

$\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Si en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ la función $\mathrm{f}$ es mayor o igual que la función $\mathrm{g}$ entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

En particular, si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0$

Análogamente, si $0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Si en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ la función $\mathrm{f}$ es mayor que la función $\mathrm{g}$ entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

En particular, si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0$

Analogamente, si $0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 1

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x + \int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 2

$\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 15 \cdot \int_1^- \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 3

$\int_3^3 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0$

Ejemplo 4

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = -\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 5

Como $x > x^2, \, \forall x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)$ , se cumple que

$\int_0^1 x \cdot \mathrm{d}x > \int_0^1 x^2 \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 6

Como $x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)$ , se cumple que

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0$

MODELO APA:

Jose Marquez . (16 de Agosto 2012). Propiedades de la integral definida. 27 de noviembre 2015, de Wikillerato Sitio web: http://www.wikillerato.org/Propiedades_de_la_integral_definida.html

MODELO APA:

Jorge. ( 15 jun. 2012). Integral definida y sus propiedades básicas. 27 de noviembre 2015, de tareas plus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=L4K4JXMXJbI

3.2 Teorema Fundamental del cálculo.

(EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por

Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Si c pertecece a [a,b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y

Una demostración visual bien conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto (esta es una condición más débil, la hipótesis del teorema es más fuerte. Para una demostración analítica más rigurosa de este teorema hay que leer un buen libro de Cálculo).

Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos aceptar que

Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales

Teorema Fundamental del Cálculo: demostración visual | matematicasVisuales

Si h es suficientemente pequeño (o podemos usar un teorema de valor intermedio, para ser más precisos)

Dividiendo entre h:

Si f tiene mejores propiedades, por ejemplo, si f es continua en todos los puntos de [a,b], entonces F es diferenciable en todos los puntos de (a,b) y

La idea es que empezamos con una función f:

Teorema Fundamental del Cálculo: una función y el área bajo la curva | matematicasVisuales

Consideramos una integral indefinida F (arrastando el límite inferior de integración obteneos diferentes funciones integrales):

Teorema Fundamental del Cálculo: una función integral | matematicasVisuales

En un punto diferenciamos esta función F (gráficamente estamos considerando la pendiente de la recta tangente):

Teorema Fundamental del Cálculo: recta tangente a una función integral | matematicasVisuales

Entonces:

Teorema Fundamental del Cálculo: derivada de una función integral | matematicasVisuales

Este Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene unaantiderivada y nos muestra cómo construir una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.

Muchas veces el problema es cómo encontrar una antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x) tal que F'(x) = f(x).

Un caso importante es cuando queremos integrar una función que tiene una antiderivada (o primitiva). Es decir, conocemos una función f y queremos integrar f' (o tenemos que integrar f' y podemos encontrar una primitiva f). En este caso, podemos ver la función que queremos integrar como una tasa de variación y la integral como un acumulador de este cambio (un ejemplo: la integral de la velocidad es la distancia recorrida).