Matemáticas 2: 11/27/15

viernes, 27 de noviembre de 2015

4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos ecuaciones son iguales.

Una ecuación es proporcional a otra.

Una ecuación es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1 Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2 Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

MODELO APA:

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/equi.html

Ana Rosa. ( 11 jul. 2013). Sistemas de ecuaciones equivalentes 1 - Álgebra - Educatina. 27 d enoviembre 2015, de educatina Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=kiHcKWupr6Y

4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método gráfico, igualación, sustitución, eliminación (sumas y restas).

Método de eliminación por suma o resta

Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método:

a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante

apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las

incógnitas.

b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.

e) Se resuelve la ecuación lineal resultante.

f) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para,

encontrar el valor de la otra incógnita.

Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incógnitas de igual coeficientes el paso

primero se omite. EJEMPLO:

1. Resolver el sistema

(1) 4x + 6y = -3

(2) 5x + 7y = -2

Multiplicar los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.

5(4x + 6y = -3) 20x + 30y = - 15

-4(5x + 7y = -2) -20x - 28y = 8

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:

20x + 30y = - 15

- 20x - 28y = 8

0 2y = - 7

Resolviendo la ecuación, tenemos: y = - 7/2

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:

(1) 4x + 6(-7/2) = - 3

4x - 21 = - 3

4x = - 3 + 21

x = 18 / 4

x = 9/2

(2) 5(9/2) + 7(-7/2) = - 2

45/2 - 49/2 = -

-4/2 = -2

-2 = -2

Su comprobación es:

4(9/2) + 6(-7/2) = - 3

18-21 = -3

-3 = -3

Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son:

x = 9/2 y y = -7/2

* Santiago Quillupangui * Wladimir Medina * Javier Morales * Patricio Nazareno * Patricio Suárez. (julio 2013). sistema de ecuaciones lineales. 27 de noviembre 2015, de algebra sistemas Sitio web: https://sites.google.com/site/algebrasistemas/home

4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes, y su representación para métrica del conjunto solución.

MODELO APA:

Luis Manuel. ( 10 oct. 2014). Álgebra Intermedia - Lección 61 - B (sistemas consistentes, inconsistentes y dependientes). 27 d enoviembre 2015, de matemprepa Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=k4JQQJdmmoA

4.1.1 Definición

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

MODELO APA:

Jazmín Morales Ramón . (jueves, 31 de mayo de 2012). algebra lineal. 27 d enoviembre 2015, de matematicas line Sitio web: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/31-definicion-de-sistemas-de-ecuaciones.html

MODULO 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.

MODELO APA:

Jorge cogollo. (13 de diciembre 2013). ECUACIONES LINEALES - Ejercicios resueltos. 27 de noviembre 2015, de http://clasesmatematicas.blogspot.com/ Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=LDJCl59hX7c

unidad 4

Objetivo Particular del Periodo:

El alumno comprenderá el concepto de integral definida así como su interpretación gráfica. Resolverá problemas de aplicación geométrica al mismo tiempo que resolverá problemas del entorno económico-administrativo.

El alumno aplicará técnicas adicionales para la resolución de integrales que presentan estructuras complejas asociadas con modelos y problemas del entorno económico-administrativo.

El alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios

conclusión de unidad 3

unidad 3

En este módulo vimos las áreas sobre debajo de la curva ya se a con una o dos variables y todo lo que tenga que ver con el superavid en sacar perdidas o ganancias de los productos.

3.5 Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.

Efrain Nava Alvarez. ( 6 abr. 2012). Excedente o superávit del consumidor y del productor con Geogebra. 27 de noviembre 2015, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=66YeIjunXJ0

El excedente del consumidor es un concepto basado en la Ley de la Oferta y la Demanda, y es la ganancia monetaria obtenida por los consumidores, ya que son capaces de comprar un producto a un precio menor del que estarían dispuestos a pagar. En otras palabras, la cantidad de dinero en que los consumidores valoran un bien o servicio por encima de su precio de compra.

Si el precio fuese A, la demanda sería mínima (precio muy alto hace lo los consumidores no quieran comprar) y la oferta grandísima (precio muy alto hace que los productores obtengan muchos beneficios a ese precio si consiguen vender la producción).
Si el precio fuese B, la demanda sería altísima ya que el producto se vendería muy barato, pero la oferta sería bajísima ya que a pocos productores les interesaría producir.
En el precio de equilibrio se iguala la cantidad de interesados en consumir a ese precio y los interesados en producir. El excedente del consumidor será el valor acumulativo de todos aquellos que estaban dispuestos a pagar más pero que al ser el precio más bajo tienen un excedente.

Por su parte, desde el punto de vista de los productores estos tendrán unexcedente del productor.

http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-excedente-del-consumidor.html

3.4 Área entre una y dos curvas.

Método para encontrar el área entre dos curvas mediante el uso de la integra definida
De ilustra el procedimiento general y a continuación se hace uso de un ejemplo encontrando el área contenida por la parábola y=x^2 y la recta y=x
Para resolver este problema antes de proceder a integrar se hace necesario encontrar los interceptos de las funciones para conocer los límites de integración

Hasta ahora hemos aprendido cómo hallar el área bajo una curva. En este video se explica cómo hallar el área entre dos curvas. Supongamos que tenemos dos funciones cualquiera f(x) y g(x) como se observa en el gráfico, y nos interesa encontrar el área entre las curvas f(x) y g(x) en el intervalo entre a y b. Para encontrar dicha área en realidad lo que podríamos hacer es al área que hay bajo la curva f(x) en el intervalo entre a y b, restarle el área bajo la curva g(x) en el mismo intervalo. Es decir, si queremos encontrar el área entre las curvas en ese intervalo debemos encontrar la integral entre a y b, de f(x) – g(x). En resumidas palabras lo que hacemos es encontrar la integral entre a y b de la función de arriba menos la función de abajo. Luego en el video se muestra cómo hallar el área entre dos curvas mediante un ejemplo con las funciones y=x^2 y la recta y=x. Para comenzar debemos hallar los intercepto de las funciones, lo cual se hace igualando las dos “y”, para proceder a halar la integral entre el intervalo hallado de la función de arriba (y=x), menos la de abajo (y=x^2).

MODELO APA:

Roberto. ( 19 jun. 2012). Área entre dos curvas ejemplo 1. 27 de noviembre 2015, de tareas plus Sitio web: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Area-entre-dos-curvas-ejemplo-1

3.3 Propiedades de la integral definida.

Propiedades

La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

$\int_a^b \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \, \mathrm{g} \left( \, x \, \right) </pre> \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \, \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

La integral del producto de un número real      por una función es igual al producto de      por la integral de dicha función:

$\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, <pre>k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, <pre>- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

Si hacemos $a = b$ en la igualdad anterior se tiene que

$ <pre>\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, - \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $

como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que

$\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0$

para cualquier número real $a$ .

Dados tres números reales cualesquiera, $a, \, b, \, c$ se tiene que:

$\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Si en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ la función $\mathrm{f}$ es mayor o igual que la función $\mathrm{g}$ entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

En particular, si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0$

Análogamente, si $0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Si en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ la función $\mathrm{f}$ es mayor que la función $\mathrm{g}$ entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

En particular, si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0$

Analogamente, si $0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , entonces

$0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 1

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x + \int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 2

$\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 15 \cdot \int_1^- \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 3

$\int_3^3 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0$

Ejemplo 4

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = -\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 5

Como $x > x^2, \, \forall x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)$ , se cumple que

$\int_0^1 x \cdot \mathrm{d}x > \int_0^1 x^2 \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo 6

Como $x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)$ , se cumple que

$\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0$

MODELO APA:

Jose Marquez . (16 de Agosto 2012). Propiedades de la integral definida. 27 de noviembre 2015, de Wikillerato Sitio web: http://www.wikillerato.org/Propiedades_de_la_integral_definida.html

MODELO APA:

Jorge. ( 15 jun. 2012). Integral definida y sus propiedades básicas. 27 de noviembre 2015, de tareas plus Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=L4K4JXMXJbI

3.2 Teorema Fundamental del cálculo.

(EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por

Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Si c pertecece a [a,b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y

Una demostración visual bien conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto (esta es una condición más débil, la hipótesis del teorema es más fuerte. Para una demostración analítica más rigurosa de este teorema hay que leer un buen libro de Cálculo).

Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos aceptar que

Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales

Teorema Fundamental del Cálculo: demostración visual | matematicasVisuales

Si h es suficientemente pequeño (o podemos usar un teorema de valor intermedio, para ser más precisos)

Dividiendo entre h:

Si f tiene mejores propiedades, por ejemplo, si f es continua en todos los puntos de [a,b], entonces F es diferenciable en todos los puntos de (a,b) y

La idea es que empezamos con una función f:

Teorema Fundamental del Cálculo: una función y el área bajo la curva | matematicasVisuales

Consideramos una integral indefinida F (arrastando el límite inferior de integración obteneos diferentes funciones integrales):

Teorema Fundamental del Cálculo: una función integral | matematicasVisuales

En un punto diferenciamos esta función F (gráficamente estamos considerando la pendiente de la recta tangente):

Teorema Fundamental del Cálculo: recta tangente a una función integral | matematicasVisuales

Entonces:

Teorema Fundamental del Cálculo: derivada de una función integral | matematicasVisuales

Este Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene unaantiderivada y nos muestra cómo construir una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.

Muchas veces el problema es cómo encontrar una antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x) tal que F'(x) = f(x).

Un caso importante es cuando queremos integrar una función que tiene una antiderivada (o primitiva). Es decir, conocemos una función f y queremos integrar f' (o tenemos que integrar f' y podemos encontrar una primitiva f). En este caso, podemos ver la función que queremos integrar como una tasa de variación y la integral como un acumulador de este cambio (un ejemplo: la integral de la velocidad es la distancia recorrida).