lunes, 30 de noviembre de 2015

Matemáticas aplicadas para la administración y economía

MODELO APA:
Robin W. LardnerVíctor Hugo Ibarra Mercado Jagdish C. Arya . (2009). Matemáticas aplicadas para la administración y economía . Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto: pearson .

Jagdish C. Arya Robin W. Lardner. (2009). matematicas aplicadas para la administracion y economia. 30 de noviembre 2015, de Person Sitio web: file:///C:/Documents%20and%20Settings/Casa/Mis%20documentos/Downloads/matematicas-aplicadas-a-la-administracion-airya-5edi%20(3).pdf

conclusión 4

Conclusión:

En este modulo vimos la gran variedad de matrices que existen como por ejemplo lineal cuadrática etc y todos sus métodos con los que podemos resolverlos y como utilizarse en cada caso algunos de los métodos son reducción sustitución etc es un tema bastante amplio me gusto mucho este modulo y todo su contenido .

4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor.

Teoría básica de Insumo Producto

“suministra la estructura para medir las corrientes de insumos y de productos comunes que circulan entre los distintos sectores de la economía”
La presentación del modelo de Insumo-Producto se da a través de tablas de doble entrada
Parámetros de los sistemas Insumo-Producto
son constantes arbitrarias que caracterizan, por sus propiedades, el valor y la descripción dimensional de un sistema específico o de un componente del sistema.
Entrada o insumo o impulso (input)
es la fuerza de arranque del sistema, que provee el material o la energía para la operación del sistema.
Salida o producto o resultado (output)
es la finalidad para la cual se reunieron elementos y relaciones del sistema.
Retroacción o retroalimentación o retroinformación (feedback)
Función de retorno del sistema que tiende a comparar la salida con un criterio preestablecido, manteniéndola controlada dentro de aquel estándar o criterio.
supuestos básicos
Procesamiento o procesador o transformador (throughput)
Es el fenómeno que produce cambios, es el mecanismo de conversión de las entradas en salidas o resultados.
Sistema Insumo-Producto
Equipo.
Espore Betancourt Joanna Elizabeth
Moreno Morales Naren
Nicasio Domínguez Jacqueline
Estas matrices proporcionan un análisis detallado del proceso de producción y la utilización de los bienes y servicios que se producen en una determinada región
Cada industria o sector produce un sólo tipo de mercancía.
un sólo método de producción para las mismas, por lo tanto un producto X elaborado mediante n procesos distintos será considerado como n bienes diferentes
Este supuesto se denomina Proporcionalidad
Los insumos usados por cada sector sólo son función lineal de su nivel de producción por lo tanto esta cantidad de insumos varía en la misma proporción que la producción,
Es igual a la sumatoria de los diferentes efectos, entonces, estamos en presencia del supuesto de la actividad.
El efecto total de la producción en varios sectores
es el medio que envuelve externamente el sistema. Está en constante interacción con el sistema, ya que éste recibe entradas, las procesa y efectúa salidas.
Ambiente

En el universo existen distintas estructuras de sistemas y es factible ejercitar en ellas un proceso de definición de rango relativo. Esto produciría una jerarquización de las distintas estructuras en función de su grado de complejidad.
Rango

Es la propiedad que tiene un sistema de aprender y modificar un proceso, un estado o una característica de acuerdo a las modificaciones que sufre el contexto. Esto se logra a través de un mecanismo de adaptación que permita responder a los cambios internos y externos a través del tiempo.
Adaptabilidad
¿Cuál es su utilidad?
ofrece una descripción detallada de la ruta que siguen los bienes y servicios hasta llegar a la demanda final y le brinda la participación relativa de su empresa en el total de una determinada rama de actividad con sus consecuentes posibilidades de expansión de mercado.

http://prezi.com/fmfdt6vyospa/?utm_campaign=share&utm_medium=copy&rc=ex0share

MODELO APA:

de Joanna Espore . (27 de febrero 2014). Sistema Insumo-Producto. 30 de nov 2015, de prezzi Sitio web: https://prezi.com/fmfdt6vyospa/sistema-insumo-producto/#

4.3.4 Regla de Cramer.

Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales
pero las matrices deben de ser cuadradas

mira una manera facil es esta supongamos que este es nuestro sistema

4x+5y=4
2x-2y=1

es un supongamos e

no se si este sistema sea lineal solo te lo escribo para que sepas el porcedimiento
como te daras cuenta el sistema es cuadrado
ya q solo hay dos variables
bueno
primero colocas los coeficientes de las variables y sacas el determinante

4 5
2 2

=8-10=-2

despues la columna que es de los re3sultados la sustituyes por la prmera columna que pertenece a la variablke x y sacas el determinant

4 5
1 2

=8-6=2

ese el la adjunta del primer valor

para el segundo haces lo mismo

4 4
2 1

=4-8=-4

y pues ya obtenidos las adjuntas

ahora el valor 1 que obtuvimos la de x hacemos lo siguiente para obtener el verdadero valor
x=2/-2
x=-1

y hacemos lo mismo para y

y=-4/-2
y=2

MODELO APA:

Julio Montero. (2008). ¿Como se utiliza la Regla de Cramer?. 30 de nov 2015, de ciencias y matematicas Sitio web: https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090417101011AAQqI3B

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

MATRICES

Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma:

La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices Cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz Identidad

Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Matrices Triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices Diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la transpuesta de:

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT = Monografias.com

es la matriz n ð m. La transposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B) T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB) T = BTAT.

Matrices Simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices Ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices Normales

Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 ð 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 ð 5, la matriz resultante será de orden 2 ð 5.

(2 ð 3) ð (3 ð 5) = (2 ð 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3 ð 5 por 2 ð 3,

Puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m ð p y B una matriz p ð n. Entonces el producto AB es la matriz m ð n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Ejemplo:

Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

Ejemplo:

Entonces:

División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo:

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

AB = BA = I

Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.

Ejemplo:

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Método de Gauss

Sea A = (ai j) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso1. Construir la matriz n ð 2n M = (A Monografias.com

I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.

Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.

MODELO APA:

Eddy Rubem Alcalde Rumiche. (2002). Matrices y determinantes . 30 nov 2015, de monografias Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos71/matrices-determinantes/matrices-determinantes2.shtml

4.3.2 Expansión por cofactores.

MENORES Y COFACTORES.

En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.

Se llama menor del elemento a_ik de un determinante D de al determinante M_ik de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.

Ejemplo 1.

Obtener los menores M₁₃ y M₂₁ del determinante D de .

Para M₁₃ eliminamos el renglón 1 y la columna 3 para obtener

De la misma forma, se elimina el renglón 2 y la columna 1 para tener

Se llama cofactor del elemento a_ik del determinante D, al menor M_ik con el signo (-1)^i+ky se denota A_ik, esto es

(1)

Ejemplo 2.

Obtenga los cofactores A₁₃ y A₂₁ del determinante D dado:

De acuerdo con la fórmula (1) el cofactor A₁₃ está dado por

Y de la misma forma

Expansión por cofactores de un determinante.

Se puede probar el siguiente

Teorema

Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

Esto es

(2)

es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente

(3)

es el desarrollo del determinante D por la columna k.

Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

Ejemplo 3.

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D.

Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los cofactores A₂₁, A₂₂ y A₂₃ de los elementos del segundo renglón.

Entonces

Ejemplo 4.

Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante D del ejemplo 3 para verificar que obtenemos el mismo valor.

Para expandir por cofactores de la primera columna, primero evaluamos los cofactores A₁₁, A₂₁, A₃₁ de los elementos de la primera columna:

Entonces

Ejemplo 5.

Considere la matriz A y calcule su determinante det A

Para evaluar el determinante de A usamos la fórmula (2) que permite desarrollar un determinante por cofactores de una columna. Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un 2. Desarrollando por la columna (1) se tiene