Matemáticas 2: 11/26/15

unidad 3

Objetivo Particular del Periodo:

El alumno entenderá el concepto de integral y su relación con la derivada. Resolverá problemas de aplicación dando énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico-administrativas tales como: Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

Conclusión:

En esta unidad vimos varias cosas sobre las integrales pero lo que mas vimos fue la integrales de una funciones y sus exponenciales las cuales tienen un procedimiento un poco amplio al igual varios métodos por los cuales podríamos resolver cada uno de ellos fue una unidad un poco extensa pero cada subtemas nos ayudo mucho para saber interpretar 7y sacar cada una de las derivadas correspondientes

2.4 Aplicaciones: Determinación de funciones de costo, utilidades, consumo, y ahorro a partir de sus marginales.

Los patrones de consumo e inversión desempeñan un papel fundamental en la economía de un país. los países que consumen la mayor parte de su renta como estados Unidos, tienden a invertir relativamente poco y muestran una tasa moderada de crecimiento económico, en cambio los que consumen una pequeña parte de su renta tienden a invertir mucho; estos países por ejemplo, Japón, Hong Kong, tienen una elevadas tasas de crecimiento de la producción y de la productividad.

1) DEFINICIONES BÁSICAS

Para comprender a la perfección el tema a tratar es necesario que se conozca los las definiciones de consumo e inversión.

CONSUMO: es el intercambio de bienes (generalmente se intercambia dinero o tiempo por cosas y/o servicios) para obtener una utilidad personal derivada de la satisfacción de necesidades.

INVERSION: Es la aplicación de recursos financieros destinados a incrementar

los activos fijos o financieros de una entidad. Ejemplo: maquinaria, equipo, obras públicas, bonos, títulos, valores, etc. Comprende la formación bruta de capital fijo y la variación de existencias de bienes generados en el interior de una economía.

EL CONSUMO Y EL AHORRO

EL CONSUMO, LA RENTA Y EL AHORRO

Existe una estrecha relación entre renta, ahorro y consumo, la relación exacta es muy sencilla. El ahorro es la parte de la renta que no se consume, es decir el ahorro es igual a la renta menos el consumo.

Los estudios económicos han demostrado que la renta es el principal determinante del consumo y del ahorro. Los ricos ahorran mas que los pobres en términos absolutos como en términos porcentuales las personas pobres no pueden ahorrar nada; mas bien, si tienen alguna riqueza o pueden pedir prestamos tienden a desahorrar. Es decir gastar mas de lo que ganan, reduciendo así el ahorro acumulado o endeudándose más.

EL PUNTO DE NIVELACION

En la economía domestica representativa ni ahorra ni desahorra, sino que consume toda su renta.

Para comprender el modo en que el consumo afecta a la producción nacional, es necesario introducir algunos instrumentos nuevos. Es necesario comprender cuantos dólares adicionales de consumo y ahorro genera cada dólar adicional de renta. Esta relación se muestra por medio de:

La función de consumo, que relaciona el consumo y la renta.

La función de ahorro, que relaciona el ahorro y la renta.

LA FUNCIÓN DE CONSUMO

Una de las relaciones mas importantes de toda la macroeconomía es la función de consumo, que muestra la relación entre nivel de gasto y de consumo y el nivel de renta personal disponible.

Este concepto introducido por Keynes se basa en la hipótesis de que existe una relación empírica estable entre el consumo y renta.

Figura A-1.

Representación de la función ingreso

La curva que pasa por los puntos A,B,C...G, es la función de consumo , el eje de abscisas muestra el nivel de renta disponible (RD).la función de consumo muestra el nivel monetario de consumo (C) de la economía domestica correspondiente a cada nivel de RD. Se observa que el consumo aumenta con la RD. La recta de 450 ayuda a localizar el punto de nivelación y a medir a simple vista el ahorro neto.

B, representa el gasto donde el consumo es exactamente igual a la renta disponible.

LA FUNCIÓN DE AHORRO

La función muestra la relación entre el nivel de ahorro y la renta. Se representa gráficamente en la figura A-2 en la cual mostraremos de nuevo la renta disponible en el eje de abscisas, pero en el de ordenadas ahora representaremos el ahorro neto ya sea una cantidad negativa o positiva.

La función de ahorro es la imagen simétrica de la función de consumo, esta curva de ahorro se obtiene restando el consumo de la renta. La figura muestra el desahorro directamente, la función de ahorro se encuentra por debajo del eje de abscisas (que corresponde a un nivel de ahorro nulo) en el punto A. Del mismo modo, el ahorro positivo se halla a la derecha del punto b porque la función de ahorro se encuentra por encima del eje que representa el nivel de ahorro.

MODELO APA:

Rocío Ventura Mata. (2 de julio 2012). el consumo y la inversion. 26 de noviembre 2015, de principio de economia 3 edicion Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos35/consumo-inversion/consumo-inversion.shtml

2.3.11 Integral por partes.

Estrategia para derivar por partes

a) Tomar como u la función que al derivarla se simplifica. También ayuda seguir un orden de prelación de escogencia para u:

1. Función Inversa 2. Función Logarítmica 3. Función Algebraica 4. Función Trigonométrica 5. Función Exponencial.

b) Si las 2 funciones tienen el mismo grado de complejidad, al ser derivadas tomar como dv la función que al integrarla se simplifica.

c) Notar que lo que se desea integrar es un producto entre dos funciones.

D) ojo: una forma facil de poder encontrar quien es U y qn es dv es que para u se busca el mas facil de derivar y para dv el resto. Aplica para muchas integrales que se resuelven por partes. e) Una integral por parte se puede identificar como ciclica de una manera muy sencilla, si se ve una exponencial con una trigonometrica especificamente seno o coseno esa integral es ciclica.

Ejemplo #1

Encuentre la primitiva de

$\int x \cos x \; dx$

Hacemos $u=x$ y $dv=\cos x \; dx$ . Entonces u, v, du y dv son,

$u=x$	$dv=\cos x\;dx$
$du=dx$	$v=\sin x$

Usando la ecuación de integración por partes,

$\int u \; dv=uv-\int v\;du$

$\int x \cos x \; dx = x\sin x - \int \sin x \; dx$

Este nuevo integral es fácil de evaluar.

$\int x \cos x \; dx=x \sin x + \cos x + C$

Ejemplo # 2

Encontrar:

$\int (x^2 -1)e^{x} dx$

Hacemos $u=x^2-1$ y $dv=e^xdx$

Entonces u, v, du y dv son:

$u = x^2 - 1$	$du = 2xdx$
$dv = e^x dx$	$v = e^x$

Ahora tenemos:

$\int (x^2 -1)e^{x} dx = (x^2 - 1)e^x - \int e^x2xdx$

$= x^2e^x - e^x - 2\int e^x xdx$

Y nuevamente hacemos:

$u = x$	$du = dx$
$dv = e^x dx$	$v = e^x$

Para obtener:

$= x^2 e^x - e^x - 2[xe^x - \int e^x dx]$

$= x^2 e^x - e^x - 2[xe^x - e^x] + C$

$= x^2 e^x - e^x - 2xe^x + 2e^x + C$

$= x^2 e^x - 2xe^x + e^x + C$

$= e^x(x^2 - 2x + 1) + C$

Ejemplo #3

Encontrar:

$\int e^{2x} \sin(3x)dx$

Haciendo:

$u = \sin (3x)$

$dv = e^{2x}dx$

$du = 3\cos3xdx$

$v = \frac{1}{2} e^{2x}dx$

y sabiendo que $uv - \int vdu$

Obtenemos:

$= \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) - \int \frac{1}{2}e^{2x}3\cos(3x)dx$

$= \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) - \frac{3}{2}\int e^{2x}\cos(3x)dx$

Nuevamente hacemos para:

$u = \cos (3x)$

$dv = e^{2x}dx$

$du = -3\sin(3x)dx$

$v = \frac{1}{2} e^{2x}$

Sustituir y operar:

$= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- 3/2 [\frac{1}{2} e^{2x}\cos(3x)+ \int \frac{1}{2}e^{2x} 3\sin(3x)dx]$

$= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- 3/2 [\frac{1}{2} e^{2x}\cos(3x)+ \frac{3}{2}\int e^{2x} \sin(3x)dx]$

$= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x) + \frac{9}{4}\int e^{2x}\sin(3x)dx$

$= \int e^{2x} \sin(3x)dx$ = $= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x) + \frac{9}{4}\int e^{2x}\sin(3x)dx$

$= \frac{13}{14}\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x) 3 \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x)$

$=\int e^{2x} \sin(3x)dx$ $= 4/13 [\frac{1}{2}e^{2x}\SIN(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x)]$

$=\frac{2}{13}e^{2x}\sin(3x) - \frac{3}{13}e^{2x}\cos(3x)$

$= e^{2x} [2\sin(3x) - 3\cos(3x)]+ C$

Ejemplo #4

Encontrar:

$\int {x} \sin(x)dx$

Haciendo:

$u = (x)$

$dv = sin (x)dx$

$du = dx$

$v = -\cos (x)$

y sabiendo que $uv - \int vdu$

Obtenemos:

$= \ x\cos(x) + \int \cos(x)dx$

$= -x\cos(x) + \sen(x)]+ C$

Ejemplo #5

Encontrar:

$\int x e^{x}dx$

Haciendo:

$u = (x)$

$dv = e^{x}dx$

$du = dx$

$v = e^{x}$

y sabiendo que $uv - \int vdu$

Obtenemos:

$xe^{x}-\int e^{x}dx = \int xe^{x}dx$

$\int xe^{x}dx = xe^{x}-e^{x} + c$

Ejemplo #6

$\int x^{2} ln(x) dx$

Hacemos:

$u = ln(x)$

$du = \frac{1}{x} dx$

$v = \frac{1}{3} x^{3}$

$dv = x^{2}$

Usando la ecuación de integración por partes:

$\int u dv = uv - \int v du$
Tenemos que:
$\int x^{2} ln(x) dx = ln(x) \frac{1}{3} x^{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} dx$

$= \frac {1}{3} x^{3} ln(x) - \int \frac{1}{3} x^{2} dx$

$= \frac {1}{3} x^{3} ln(x) - \frac{1}{9} x^{3} + C$

Ejemplo # 7

Encontrar:

$\int ln(x) dx$

Hacemos:

$u = ln(x)$

$du = \frac{1}{x} dx$

$v = x$

$dv = dx$

Entonces, usando la ecuación de integración por partes $uv - \int vdu$ tenemos:

$= x ln(x) - \int x \frac {1}{x} dx$

$= x ln (x) - \int dx$

$= x ln (x) - x + c$

Ejemplo #8

Encontrar:

$\int x^{2}sin(x) dx$

Hacemos : $u = x^{2}$

$du = 2 x dx$

$v = -cos(x)$

$dv = sin(x) dx$

Tenemos:

$= -cos(x^{2}) - \int -cos(x) 2x dx$

$= -x^{2}cos(x) + 2 \int x cox(x) dx$

Usamos integración por partes nuevamente para $\int x cos (x) dx$ :

$u = x$

$du = dx$

$v = sin(x)$

$dv = cos(x)$

$= -x^{2}cos(x) + 2[x sin(x) - \int sin(x) dx ]$

$= -x^{2}cos(x) + 2 x sin(x) + 2 cos(x) + c$

Ejemplo # 9

Encontrar:

$\int x^{2}e^{x}dx$

Hacemos:

$u = x^{2}$

$du = 2x dx$

$v = e^{x}$

$dv = e^{x} dx$

Entonces:

$\int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} dx$

$x^{2} e^{x}$ lo guardamos un momento mientras encontramos la respuesta de nuestra nueva integral

para nuestra nueva integral $- 2 \int x e^{x} dx$ volvemos a integrar por partes:

$u = x$

$du = dx$

$v = e^{x}$

$dv = e ^{x}dx$

$-2\int x e^{x} dx = -2(x e^{x} - \int e^{x} dx)$

$= -2xe^{x} + 2e^{x} + C$

por lo tanto, nuestra respuesta sería:

$= x^2e^x-2xe^{x} + 2e^{x} + C$

Ejemplo # 10

Encontrar:

$\int e^{x} sin(x)dx$

Hacemos:

$u = e^{x}$

$du = e^{x} dx$

$v = - cos(x)$

$dv = sin(x) dx$

Entonces:

$\int e^{x} sin(x)dx = - e^{x} cos(x) + \int e^{x} cos(x) dx$

A simple vista no parece haber mejorado , pero volvamos a integrar por partes otra vez.

Hacemos:

$u = e^{x}$

$du = e^{x} dx$

$v = sin(x)$

$dv = cos(x) dx$

Entonces:

$\int e^{x} cos(x)dx = e^{x} sin(x) - \int e^{x} sin(x)dx$

Al sustituir esto en el primer resultado quedaria de la siguiente forma :

$\int e^{x} sin(x)dx = - e^{x} cos(x) + e^{x} sin(x) - \int e^{x} sin(x)dx$

Se pueden dar cuenta que el último termino de la ecuación puede pasar a sumar al otro lado de la ecuación.

Entonces :

$2 \int e^{x} sin(x)dx = e^{x} (sin (x) - cos(x) ) + C$

Resultado de esto es :

$\int e^{x} sin(x)dx = 1/2 e^{x}(sin(x) - cos(x)) + K$

Metodo por tabulacion

Ejemplo # 11

$\int x^{3}senxdx$

tomamos a u como $x^3$
tomamos a dv como $Senx$
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

$u$

$dv$

$x^3$

$Senx$

$3x^2$

$-Cosx$

$6x$

$-Senx$

$6$

$Cosx$

$0$

$Senx$

multiplicamos u y dv en diagonal, y empezamos a color los signos +,-,+,-,+,...... sucesivamente hata que lleguemos al 0.

Entonces la primitiva nos quedira.

$-x^3Cosx+3x^2Senx+6xCosx-6Senx+C$

Ejemplo # 12

$\int x^{2}e^{x}dx$

tomamos a u como $x^2$
tomamos a dv como $e^x$
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

$u$

$dv$

$x^2$

$e^x$

$2x$

$e^x$

$2$

$e^x$

$0$

$e^x$

No olvidar hacer el respectivo cambio de signos.
Resultado:

$x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$

--Antonio Moran 19:36 31 jul 2009 (CST)tonymoran $\int x^{2}Cosxdx$
tomamos a u como $x^2$
tomamos a dv como $Cosx$
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

$u$

$dv$

$x^2$

$Cosx$

$2x$

$Senx$

$2$

$-Cosx$

$0$

$-Senx$

No olvidar el cambio de signos

Resultado:

$x^2Senx+2xCosx-2Senx$

Ejemplo # 13

$\int (lnx)^{2}dx$

$u=(lnx)^2$

$dv=dx$

$du=2ln*\frac{1}{x}dx$

$v=x$

$(lnx)^{2}x-\int 2lnxdx$

$(lnx)^2 -2\int lnxdx$

respuesta..

$(lnx)^2x -2(xlnx-x)+C$

Ejemplo # 14

$\int sin(ln x) dx$

escogemos u y dv de la siguiente forma:

$u = sin(ln x)$ ; $dv = dx$

entonces obtenemos

$du = \frac {1}{x} cos(ln x)dx$ ; $v = x$

utilizando nuestra ecuacion para la integración por partes sustituimos los valores

$\int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - \int cos(ln x) dx$

podemos notar que de nuevo tenemos otra vez una integral por partes y la resolvemos de la siguiente manera

$u = cos(ln x)$ ; $dv = dx$

$du = - \frac {1}{x} sin(ln x)dx$ ; $v = x$

sustituimos siguiendo nuestra ecuación y tenemos

$\int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - xcos(lnx) - \int sin(ln x) dx$

de los dos lados de la ecuación aparece $\int sin(ln x) dx$ entonces el del lado derecho de la ecuación lo pasamos sumando al otro lado y obtenemos

$2 \int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - xcos(lnx)$

ahora ya solo despejamos y obtenemos la integral

$\int sin(ln x) dx = \frac{1}{2}[xsin(lnx) - xcos(lnx)]+c$

Ejemplo # 15

$\int p^5\ln pdp$

$u = \ln p$

$du = \frac{1}{p}dp$

$dv = p^5dp$

Entonces:

$uv - \int vdu$

$= \ln p (\frac{1}{6}p^6)- \int \frac{1}{6}p^6 \frac{1}{p}dp$

$= \frac{1}{6}p^6\ln p - \frac{1}{36} p^36 + C$

Ejemplo 16

Demostración integral ciclico que contiene exponencial y coseno Ciclico I

Ejemplo 17

$\int t^3 e^t dt$

$u = t^3 , dv = e^t dt$

$du = 3t^2 dt, v = e^t$

Usando la formula de integracion por partes

$t^3 e^t - 3\int e^t t^2 dt$

Todavia queda una integral la cual se puede volver a usar la formula de integracion por partes para que quede mas sencilla.

$u = t^2 , dv = e^t dt$

$du = 2t dt, v = e^t$

$t^3 e^t - 3(t^2 e^t - 2\int e^t t dt)$

La integral que nos queda no es muy obvia todavia podemos volver a utilizar la formula de integracion por partes.

$u = t , dv = e^t dt$

$du = dt, v = e^t$

$t^3 e^t -3(t^2 e^t - 2(t e^t - \int e^t dt))$

Nos queda de una forma sencilla que podemos integrar sin ningun problema.

$t^3 e^t - 3(t^2 e^t - 2(t e^t - e^t)) + C$

Expandimos.

$t^3 e^t - 3t^2 e^t + 6t e^t - 6e^t + C$

Simplificamos.

$e^t (t (t - 3)t + 6) - 6) + C$

EJEMPLO 18

Evaluar la integral:

$\int_{0}^{\Pi}tSen3tdt$

Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;

$u=t, dv=Sen3tdt$

$du=dt, v= -\frac{1}{3}Cos 3t$

Entonces;

$\int_{0}^{\Pi}tSen3tdt=>$

$\left [ -\frac{1}{3}tCos3t \right ]_{0}^{\Pi}\textrm{}+\frac{1}{3}\int_{0}^{\Pi}Cos3tdt=>$

$\left ( \frac{1}{3}\Pi - 0 \right )+\frac{1}{9}\left [ Sen3t \right ]_{0}^{\Pi}\textrm{}$

MODELOA APA:

Jorge Samayoa. (26 de enero 2013). Integración por partes. 26 d enoviembre 2015, de wikimatematica Sitio web: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integraci%C3%B3n_por_partes

Matemáticas 2

jueves, 26 de noviembre de 2015

unidad 3

Objetivo Particular del Periodo:

Conclusión:

2.4 Aplicaciones: Determinación de funciones de costo, utilidades, consumo, y ahorro a partir de sus marginales.

2.3.11 Integral por partes.

Estrategia para derivar por partes

Ejemplo #1

Ejemplo # 2

Ejemplo #3

Ejemplo #4

Ejemplo #5

Ejemplo #6

Ejemplo # 7

Ejemplo #8

Ejemplo # 9

Ejemplo # 10

Metodo por tabulacion

Ejemplo # 11

Ejemplo # 12

Ejemplo # 13

Ejemplo # 14

Ejemplo # 15

Ejemplo 16

Ejemplo 17

EJEMPLO 18

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