Matemáticas 2

2.3.11 Integral por partes.

Estrategia para derivar por partes

a) Tomar como u la función que al derivarla se simplifica. También ayuda seguir un orden de prelación de escogencia para u:

1. Función Inversa 2. Función Logarítmica 3. Función Algebraica 4. Función Trigonométrica 5. Función Exponencial.

b) Si las 2 funciones tienen el mismo grado de complejidad, al ser derivadas tomar como dv la función que al integrarla se simplifica.

c) Notar que lo que se desea integrar es un producto entre dos funciones.

D) ojo: una forma facil de poder encontrar quien es U y qn es dv es que para u se busca el mas facil de derivar y para dv el resto. Aplica para muchas integrales que se resuelven por partes. e) Una integral por parte se puede identificar como ciclica de una manera muy sencilla, si se ve una exponencial con una trigonometrica especificamente seno o coseno esa integral es ciclica.

Ejemplo #1

Encuentre la primitiva de

$\int x \cos x \; dx$

Hacemos $u=x$ y $dv=\cos x \; dx$ . Entonces u, v, du y dv son,

$u=x$	$dv=\cos x\;dx$
$du=dx$	$v=\sin x$

Usando la ecuación de integración por partes,

$\int u \; dv=uv-\int v\;du$

$\int x \cos x \; dx = x\sin x - \int \sin x \; dx$

Este nuevo integral es fácil de evaluar.

$\int x \cos x \; dx=x \sin x + \cos x + C$

Ejemplo # 2

Encontrar:

$\int (x^2 -1)e^{x} dx$

Hacemos $u=x^2-1$ y $dv=e^xdx$

Entonces u, v, du y dv son:

$u = x^2 - 1$	$du = 2xdx$
$dv = e^x dx$	$v = e^x$

Ahora tenemos:

$\int (x^2 -1)e^{x} dx = (x^2 - 1)e^x - \int e^x2xdx$

$= x^2e^x - e^x - 2\int e^x xdx$

Y nuevamente hacemos:

$u = x$	$du = dx$
$dv = e^x dx$	$v = e^x$

Para obtener:

$= x^2 e^x - e^x - 2[xe^x - \int e^x dx]$

$= x^2 e^x - e^x - 2[xe^x - e^x] + C$

$= x^2 e^x - e^x - 2xe^x + 2e^x + C$

$= x^2 e^x - 2xe^x + e^x + C$

$= e^x(x^2 - 2x + 1) + C$

Ejemplo #3

Encontrar:

$\int e^{2x} \sin(3x)dx$

Haciendo:

$u = \sin (3x)$

$dv = e^{2x}dx$

$du = 3\cos3xdx$

$v = \frac{1}{2} e^{2x}dx$

y sabiendo que $uv - \int vdu$

Obtenemos:

$= \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) - \int \frac{1}{2}e^{2x}3\cos(3x)dx$

$= \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) - \frac{3}{2}\int e^{2x}\cos(3x)dx$

Nuevamente hacemos para:

$u = \cos (3x)$

$dv = e^{2x}dx$

$du = -3\sin(3x)dx$

$v = \frac{1}{2} e^{2x}$

Sustituir y operar:

$= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- 3/2 [\frac{1}{2} e^{2x}\cos(3x)+ \int \frac{1}{2}e^{2x} 3\sin(3x)dx]$

$= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- 3/2 [\frac{1}{2} e^{2x}\cos(3x)+ \frac{3}{2}\int e^{2x} \sin(3x)dx]$

$= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x) + \frac{9}{4}\int e^{2x}\sin(3x)dx$

$= \int e^{2x} \sin(3x)dx$ = $= \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x) + \frac{9}{4}\int e^{2x}\sin(3x)dx$

$= \frac{13}{14}\int e^{2x}\sin(3x)dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x) 3 \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x)$

$=\int e^{2x} \sin(3x)dx$ $= 4/13 [\frac{1}{2}e^{2x}\SIN(3x)- \frac{3}{4}e^{2x}\cos(3x)]$

$=\frac{2}{13}e^{2x}\sin(3x) - \frac{3}{13}e^{2x}\cos(3x)$

$= e^{2x} [2\sin(3x) - 3\cos(3x)]+ C$

Ejemplo #4

Encontrar:

$\int {x} \sin(x)dx$

Haciendo:

$u = (x)$

$dv = sin (x)dx$

$du = dx$

$v = -\cos (x)$

y sabiendo que $uv - \int vdu$

Obtenemos:

$= \ x\cos(x) + \int \cos(x)dx$

$= -x\cos(x) + \sen(x)]+ C$

Ejemplo #5

Encontrar:

$\int x e^{x}dx$

Haciendo:

$u = (x)$

$dv = e^{x}dx$

$du = dx$

$v = e^{x}$

y sabiendo que $uv - \int vdu$

Obtenemos:

$xe^{x}-\int e^{x}dx = \int xe^{x}dx$

$\int xe^{x}dx = xe^{x}-e^{x} + c$

Ejemplo #6

$\int x^{2} ln(x) dx$

Hacemos:

$u = ln(x)$

$du = \frac{1}{x} dx$

$v = \frac{1}{3} x^{3}$

$dv = x^{2}$

Usando la ecuación de integración por partes:

$\int u dv = uv - \int v du$
Tenemos que:
$\int x^{2} ln(x) dx = ln(x) \frac{1}{3} x^{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} dx$

$= \frac {1}{3} x^{3} ln(x) - \int \frac{1}{3} x^{2} dx$

$= \frac {1}{3} x^{3} ln(x) - \frac{1}{9} x^{3} + C$

Ejemplo # 7

Encontrar:

$\int ln(x) dx$

Hacemos:

$u = ln(x)$

$du = \frac{1}{x} dx$

$v = x$

$dv = dx$

Entonces, usando la ecuación de integración por partes $uv - \int vdu$ tenemos:

$= x ln(x) - \int x \frac {1}{x} dx$

$= x ln (x) - \int dx$

$= x ln (x) - x + c$

Ejemplo #8

Encontrar:

$\int x^{2}sin(x) dx$

Hacemos : $u = x^{2}$

$du = 2 x dx$

$v = -cos(x)$

$dv = sin(x) dx$

Tenemos:

$= -cos(x^{2}) - \int -cos(x) 2x dx$

$= -x^{2}cos(x) + 2 \int x cox(x) dx$

Usamos integración por partes nuevamente para $\int x cos (x) dx$ :

$u = x$

$du = dx$

$v = sin(x)$

$dv = cos(x)$

$= -x^{2}cos(x) + 2[x sin(x) - \int sin(x) dx ]$

$= -x^{2}cos(x) + 2 x sin(x) + 2 cos(x) + c$

Ejemplo # 9

Encontrar:

$\int x^{2}e^{x}dx$

Hacemos:

$u = x^{2}$

$du = 2x dx$

$v = e^{x}$

$dv = e^{x} dx$

Entonces:

$\int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} dx$

$x^{2} e^{x}$ lo guardamos un momento mientras encontramos la respuesta de nuestra nueva integral

para nuestra nueva integral $- 2 \int x e^{x} dx$ volvemos a integrar por partes:

$u = x$

$du = dx$

$v = e^{x}$

$dv = e ^{x}dx$

$-2\int x e^{x} dx = -2(x e^{x} - \int e^{x} dx)$

$= -2xe^{x} + 2e^{x} + C$

por lo tanto, nuestra respuesta sería:

$= x^2e^x-2xe^{x} + 2e^{x} + C$

Ejemplo # 10

Encontrar:

$\int e^{x} sin(x)dx$

Hacemos:

$u = e^{x}$

$du = e^{x} dx$

$v = - cos(x)$

$dv = sin(x) dx$

Entonces:

$\int e^{x} sin(x)dx = - e^{x} cos(x) + \int e^{x} cos(x) dx$

A simple vista no parece haber mejorado , pero volvamos a integrar por partes otra vez.

Hacemos:

$u = e^{x}$

$du = e^{x} dx$

$v = sin(x)$

$dv = cos(x) dx$

Entonces:

$\int e^{x} cos(x)dx = e^{x} sin(x) - \int e^{x} sin(x)dx$

Al sustituir esto en el primer resultado quedaria de la siguiente forma :

$\int e^{x} sin(x)dx = - e^{x} cos(x) + e^{x} sin(x) - \int e^{x} sin(x)dx$

Se pueden dar cuenta que el último termino de la ecuación puede pasar a sumar al otro lado de la ecuación.

Entonces :

$2 \int e^{x} sin(x)dx = e^{x} (sin (x) - cos(x) ) + C$

Resultado de esto es :

$\int e^{x} sin(x)dx = 1/2 e^{x}(sin(x) - cos(x)) + K$

Metodo por tabulacion

Ejemplo # 11

$\int x^{3}senxdx$

tomamos a u como $x^3$
tomamos a dv como $Senx$
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

$u$

$dv$

$x^3$

$Senx$

$3x^2$

$-Cosx$

$6x$

$-Senx$

$6$

$Cosx$

$0$

$Senx$

multiplicamos u y dv en diagonal, y empezamos a color los signos +,-,+,-,+,...... sucesivamente hata que lleguemos al 0.

Entonces la primitiva nos quedira.

$-x^3Cosx+3x^2Senx+6xCosx-6Senx+C$

Ejemplo # 12

$\int x^{2}e^{x}dx$

tomamos a u como $x^2$
tomamos a dv como $e^x$
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

$u$

$dv$

$x^2$

$e^x$

$2x$

$e^x$

$2$

$e^x$

$0$

$e^x$

No olvidar hacer el respectivo cambio de signos.
Resultado:

$x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$

--Antonio Moran 19:36 31 jul 2009 (CST)tonymoran $\int x^{2}Cosxdx$
tomamos a u como $x^2$
tomamos a dv como $Cosx$
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

$u$

$dv$

$x^2$

$Cosx$

$2x$

$Senx$

$2$

$-Cosx$

$0$

$-Senx$

No olvidar el cambio de signos

Resultado:

$x^2Senx+2xCosx-2Senx$

Ejemplo # 13

$\int (lnx)^{2}dx$

$u=(lnx)^2$

$dv=dx$

$du=2ln*\frac{1}{x}dx$

$v=x$

$(lnx)^{2}x-\int 2lnxdx$

$(lnx)^2 -2\int lnxdx$

respuesta..

$(lnx)^2x -2(xlnx-x)+C$

Ejemplo # 14

$\int sin(ln x) dx$

escogemos u y dv de la siguiente forma:

$u = sin(ln x)$ ; $dv = dx$

entonces obtenemos

$du = \frac {1}{x} cos(ln x)dx$ ; $v = x$

utilizando nuestra ecuacion para la integración por partes sustituimos los valores

$\int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - \int cos(ln x) dx$

podemos notar que de nuevo tenemos otra vez una integral por partes y la resolvemos de la siguiente manera

$u = cos(ln x)$ ; $dv = dx$

$du = - \frac {1}{x} sin(ln x)dx$ ; $v = x$

sustituimos siguiendo nuestra ecuación y tenemos

$\int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - xcos(lnx) - \int sin(ln x) dx$

de los dos lados de la ecuación aparece $\int sin(ln x) dx$ entonces el del lado derecho de la ecuación lo pasamos sumando al otro lado y obtenemos

$2 \int sin(ln x) dx = xsin(lnx) - xcos(lnx)$

ahora ya solo despejamos y obtenemos la integral

$\int sin(ln x) dx = \frac{1}{2}[xsin(lnx) - xcos(lnx)]+c$

Ejemplo # 15

$\int p^5\ln pdp$

$u = \ln p$

$du = \frac{1}{p}dp$

$dv = p^5dp$

Entonces:

$uv - \int vdu$

$= \ln p (\frac{1}{6}p^6)- \int \frac{1}{6}p^6 \frac{1}{p}dp$

$= \frac{1}{6}p^6\ln p - \frac{1}{36} p^36 + C$

Ejemplo 16

Demostración integral ciclico que contiene exponencial y coseno Ciclico I

Ejemplo 17

$\int t^3 e^t dt$

$u = t^3 , dv = e^t dt$

$du = 3t^2 dt, v = e^t$

Usando la formula de integracion por partes

$t^3 e^t - 3\int e^t t^2 dt$

Todavia queda una integral la cual se puede volver a usar la formula de integracion por partes para que quede mas sencilla.

$u = t^2 , dv = e^t dt$

$du = 2t dt, v = e^t$

$t^3 e^t - 3(t^2 e^t - 2\int e^t t dt)$

La integral que nos queda no es muy obvia todavia podemos volver a utilizar la formula de integracion por partes.

$u = t , dv = e^t dt$

$du = dt, v = e^t$

$t^3 e^t -3(t^2 e^t - 2(t e^t - \int e^t dt))$

Nos queda de una forma sencilla que podemos integrar sin ningun problema.

$t^3 e^t - 3(t^2 e^t - 2(t e^t - e^t)) + C$

Expandimos.

$t^3 e^t - 3t^2 e^t + 6t e^t - 6e^t + C$

Simplificamos.

$e^t (t (t - 3)t + 6) - 6) + C$

EJEMPLO 18

Evaluar la integral:

$\int_{0}^{\Pi}tSen3tdt$

Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;

$u=t, dv=Sen3tdt$

$du=dt, v= -\frac{1}{3}Cos 3t$

Entonces;

$\int_{0}^{\Pi}tSen3tdt=>$

$\left [ -\frac{1}{3}tCos3t \right ]_{0}^{\Pi}\textrm{}+\frac{1}{3}\int_{0}^{\Pi}Cos3tdt=>$

$\left ( \frac{1}{3}\Pi - 0 \right )+\frac{1}{9}\left [ Sen3t \right ]_{0}^{\Pi}\textrm{}$

MODELOA APA:

Jorge Samayoa. (26 de enero 2013). Integración por partes. 26 d enoviembre 2015, de wikimatematica Sitio web: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integraci%C3%B3n_por_partes

Matemáticas 2

jueves, 26 de noviembre de 2015

2.3.11 Integral por partes.

Estrategia para derivar por partes

Ejemplo #1

Ejemplo # 2

Ejemplo #3

Ejemplo #4

Ejemplo #5

Ejemplo #6

Ejemplo # 7

Ejemplo #8

Ejemplo # 9

Ejemplo # 10

Metodo por tabulacion

Ejemplo # 11

Ejemplo # 12

Ejemplo # 13

Ejemplo # 14

Ejemplo # 15

Ejemplo 16

Ejemplo 17

EJEMPLO 18

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