1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad
Funciones que usamos para representar situaciones de la vida real, como la función que usamos en el tutorial anterior para hablar de los socios de Facebook, son modelos matemáticos.
Modelos matemáticos
Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación.
Ejemplos
Situación Modelo
1. Hay presentemente 50 películas en tu disco duro, y este número está creciendo por 2 películas por semana. Modelar el tamaño de tu colección como una función de tiempo.
N(t) = 50 + 2t
t = tiempo en semanas, N = número de películas
2. Hay corrientemente 80 correos electrónicos sin leer en mi cuenta, y este número está disminuyendo por 10 correos por día. Modelar el número de correos electrónicos como una función de tiempo.
t = tiempo en días, E = número de correos
E(t) =
Verificar Borrar Vistazo
3. La entrada al Fiestón Halloween anuario del Club Matemáticas fue $5, y las bebidas fueron $2 cada una. Modelar el costo para un alumno como una función del número x de bebidas compradas al Fiestón.
x = número de bebidas, C = costo total
C(x) =
Verificar Borrar Vistazo
4. Invierto $1000 a una tasa de interés del 5% compuesto trimestralmente. Hallar el valor de la inversión después de t años.
A(t) = 1000(1 + 0.0125)4t
Por la formula para interés compuesto (vea Parte B)
5. Números de socios Facebook
n(t) = 4t if 0 ≤ t ≤ 3 millones de miembros 50t−138 if 3 < t ≤ 5
t = tiempo en años desde el principio de 2004, n = número de socios en millones
Nota
Ejemplos 1–4 som modelos analíticos, obtenidos por analizar la situación que está siendo modelada, mientras que Ejemplo 4 es un modelo ajuste de curva, obtenido por hallar una formula matemática que aproxima los datos observados.
Modelos de Costo, Ingresos y utilidades
Eche un vistazo al tercer ejemplo más arriba, donde el costo para comprar un numero de artículos (bebidas en ese caso) fue expresado como una función del número x de artículos. Esta función es un ejemplo de una función (de) costo. El resto de esta explicación aparecerá solo después de ingresar correctamente la función en el tercer ejemplo más arriba.
Función de Costo
Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma
Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma
C(x) = mx + b
se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el cost fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.
Ejemplo
El costo diario a su compañia de imprimir x novelos ciencia ficción en rústica es
C(x) = 3.50x + 1200 dollars.
Note que C es medido en dolares, y x es medido en libros (novelos ciencia ficción en rústica, más precisamente).
El costo marginal es m = 3.5, y el costo fijo es b = 1200.
El costo diario si no imprime ninguno libro es $
Verificar Borrar ¡Ayuda!
El costo diario para imprimir 100 libros es $
Verificar Borrar ¡Ayuda!
El costo diario para imprimir 101 libros es $
Verificar Borrar ¡Ayuda!
El costo diario para imprimir cada libro adicional es $
Verificar Borrar ¡Ayuda!
El costo variable es $
Verificar Borrar ¡Ayuda!
Inicio de página
Función de ingreso
El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal I(x) = mx y el precio de venta m se puede tamién llamar ingreso marginal.
Ejemplo
Suponga que su casa editorial vende libros ciencia ficción rústicos a una detallisa para $6.50 por libro. Entonces
I(x) = 6.50x dolares.
El ingreso marginal es m = $6.50 por libro.
Inicio de página
Función utilidad
La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:
Utilidad = Ingreso − Costo
U = I − C
Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o
I = C Equilibrio
El puno equilibrio es el número de articulos x a lo cual presenta el equilibrio.
Ejemplo
Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya tenemos las funciones costo y ingreso:
C(x) = 3.50x + 1200 dollars. Costo diario de imprimir x libros
I(x) = 6.50x dollars. Ingresos por la venta de x libros
La función utilidad es U(x) =
dolares
Verificar Borrar ¡Ayuda!
Para equilibrio, x =
libros
Verificar Borrar ¡Ayuda!
La utilidad marginal es
dolares/libro
Verificar Borrar ¡Ayuda!
Por lo tanto, debería vender ??? libros por día para salir tablas, y más para obtener una utilidad de $??? por libro adicional. ($??? es la utilidad marginal.)
Inicio de página
A veces, es más conveniente expresar modelos en forma ecuación:
Forma de función y de ecuación de los modelos matemáticos
Echemos un vistazo a las funciones costo y ingreso de nuevo:
C(x) = 3.50x + 1200 Función costo
I(x) = 6.50x Función ingreso
En vez de usar notación de función, podemos expresar las funciones de costo y ingreso en la forma de ecuaciones:
C = 3.50x + 1200 Ecuación costo
I = 6.50x Ecuación ingreso
Aquí, la variable independiente es x, y las variables dependientes son C y I. Las formas de función y de ecaución, por usar la misma letra para la variable dependiente, son usados intercambiablemente, así que podemos decir, por ejemplo, que la ecuación costo más arriba especifica C como una función de x.
El concurso siguiente es similar al Ejemplo 2 en la Sección 1.2 de Matemáticas finitas y cálculo aplicado :
CONCURSO
Ud. es el gerente de Creaciones Caraduras de Surf, una empresa fabricante de ropa. La función costo por su muy exclusive camisetas Tai Kwan Do Dragon es C(x) = 0.02x2 + 7.5x + 600 dolares, y se venden las camisteas a $20 cada una. Mire las gráficas de costo y ingreso más abajo de las preguntas para ayudarle en contestarlas, pero es necesario usar las formulas para dar las respuestas exactas.
Costo variable =
dolares
Verificar Borrar ¡Ayuda!
Costo fijo =
dolares
Verificar Borrar ¡Ayuda!
función ingreso I(x) =
dolares
Verificar Borrar ¡Ayuda!
Función utilidad U(x) =
dolares
Verificar Borrar ¡Ayuda!
Para equilibrio, debería fabricar y vender como mínimo x =
camasetas.
Verificar Borrar ¡Ayuda!
Utilidad de fabricar vender 100 camisetas es
dolares.
Verificar Borrar ¡Ayuda!
Funciones ingreso y costo
x
MODELO APA :
MODELO APA:
No hay comentarios.:
Publicar un comentario