Matemáticas 2

1.3- Máximos y mínimos de funciones de dos variables

Máximos y mínimos

Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.

La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones

fx(x,y) = 0

fy(x,y) = 0.

Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables

Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, fxy es igual a fyx. Sea

H = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]2.

Entonces

f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0,

f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0, y

f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0.

Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.

Ejemplos

1. Sea f(x, y) = x2 - (y-1) 2. Entonces fx(x,y) = 2x; fy(x, y) = -2(y-1). Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la sistema

2x = 0

-2(y-1) = 0.

La primera ecuación produce x = 0, y la segunda da y = 1. Entonces, el único punto crítico es (0, 1). Como el dominio de f es el plano cartesiano entero, entonces el punto (0, 1) es interior, y entonces es un candidato a ser un extremo relativo o punto de silla.

Para comprobar cual, calcule primero las derivadas segundas:

fxx(x, y) = 2

fyy(x, y) = -2

fxy(x, y) = fyx(x, y) = 0

Después calcule

H = fxx(0, 1)fyy(0, 1) -[fxy(0, 1)]2

= (2)(-2) -02 =- 4

Como H es negativo, tenemos un punto de silla a (0, 1). Aquí está la gráfica de f que muestra su ubicación.